Теореми Веєрштраса у банахових просторах

"Теореми Вейєрштраса у Банахових просторах"

Нехай '\mu' - метрика в метричний простірметричному просторі 'B', тобто '\mu: B \times B \to R':

1. для будь-яких 'x,y:\mu(x,y) \ge 0,\mu(x,y)=0 \Leftrightarrow x=y'.

2. '\mu(x,y) = \mu(y,x)'.

3. '\mu(x,z)+\mu(z,y) \ge \mu(x,y)'.

"Означення 1." Функціонал 'f' називається \mu - напівнеперервним знизу, якщо \mu(x_(n),x) \to 0 \Rightarrow \lim_(x \to \infty)f(x_n) \ge f(x).

"Означення 2." Множина 'X' з метричного простору 'B' називається '\mu' - 'компактною', якщо з довільної послідовності точок '(x_n) \subset X' можна обрати підпослідовність збіжну до 'x \in X'.

"Теорема 1." Якщо функція 'f' є визначеною, скінченною, '\mu' - напівнеперервною знизу на '\mu' - компактній множині 'X', то 'f' досягає на 'X' свого мінімального значення.
'Тобто існує' 'x \in X:f(x)=inf_(y \in X) f(x)'.

Нехай тепер E - банахів простір.

"Означення 3." Послідовність (x_n) \subset E називається 'слабко збіжною' до елемента x \in E, якщо для будь-якого лінійного неперервного функціоналу F F(x_n) \to F(x).

"Означення 4." Функціонал 'f' називається 'слабконапівнеперервним знизу', якщо з того що x_n \to x випливає, що \lim_(n \to \infty)f(x_n) \ge f(x).

"Означення 5." Множина 'X' з банахового простору 'E' називається 'слабкокомпактною', якщо з довільної послідовності точок (x_n) \subset X можна обрати підпослідовність, що слабко збігається до деякої x \in X.

"Теорема 2." Якщо функція 'f' визначена, скінченна, слабконапівнеперервна знизу на слабкокомпактній множині 'X', то 'f' досягає на 'X' свого мінімального значення.



uk.wikipedia.org