-алгебра

"-алгебра"('алгебра з інволюцією', 'алгебра з операцією спряження') — асоціативна алгебра з інволюція (математика)інволюцією, що має властивості подібні до комплексне спряженнякомплексного спряження.

-кільце
"-кільце" — кільце (алгебра)кільце з унарна операціяунарною операцією яка є

антиавтоморфізмом, тобто
:\ (x + y)^ = x^ + y^
:\ (x y)^ = y^ x^
:\ 1^ = 1

та інволюція (математика)інволюцією, тобто
:\ (x^)^ = x.

Таке кільце ще називається — "кільце з інволюцією".

-алгебра
"-алгебра" 'A' це -кільце що є асоціативною алгеброю над іншим -кільцем 'R', з узгодженням операції в R \subset A.

Базове -кільце це, зазвичай, комплексні числа (де — комплексне спряження).

Тоді є спряжено-лінійним, тобто
:(\lambda x+ \mu y)^ = \lambda^ x^ + \mu^ y^ \quad \lambda, \mu \in R; \;\; x,y \in A.

"-гомоморфізм" \ f: A \to B є гомоморфізм алгебр що відображає інволюцію в 'A' на інволюцію в 'B', тобто:
:f(x^) = f(x)^ \quad \forall x \in A.


Елементи для яких \ x^= x називаються "само-спряженими", "симетричними" або "ермітовими".
Елементи для яких \ x^=-x називаються "косо-спряженими", "анти-симетричними" або "анти-ермітовими".
Можна визначити сесквілінійна формасесквілінійну форму за допомогою операції у виді \phi(x,y) = x^ \cdot y.

C-алгебра
"C-алгебра" — Банаха алгебраБанахова -алгебра, для якої виконується "C–властивість":
: \x^ x \ = \x\\x^\,
: \x x^ \ = \x\\x^\.
Обидві умови є еквівалентними.

Також вони еквівалентні "В–властивості"
: \x x^ \ = \x\^2.

Приклади
Найбільш відомим прикладом є комплексні числа \C з операцією спряження.
За допомогою процедура Келі-Діксонапроцедури Кейлі-Діксона утворюються алгебри з операцією спряження: комплексні числа, кватерніони, октави (математика)октави.
Квадратні матриці з комплексними елементами з операцією спряження матриціермітового спряження.
Ермітове спряження лінійний операторлінійного оператора в Гільбертів простірГільбертовому просторі.

Властивості
Багато властивостей спряження для комплексних чисел зберігаються в -алгебрах:
Якщо для 2 в алгебрі існує обернений елемент, тоді \frac12(1-) та \frac12(1+) є ортогональністьортогональними ідемпотентністьідемпотентами. Якщо їх вибрати в базис (математика)базис, то алгебра як векторний простір розкладається в пряму суму лінійний підпростірпідпросторів з 'симетричних' та 'анти-симетричних' (ермітових та анти-ермітових) елементів.
Ермітові елементи -алгебри утворюють алгебра Йорданаалгебру Йордана.
Анти-ермітові елементи -алгебри утворюють алгебра Ліалгебру Лі.

Дивись також
Нормована алгебра з діленням



uk.wikipedia.org